barisan dan deret

MATERI AJAR

BARISAN DAN DERET

Mata Pelajaran          :  MATEMATIKA

Kelas/Program          :  XII/IPA

Semester                   :  II ( Genap )

Standar kompetensi  :  4.     Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.

Kompetensi dasar     :  4.1   Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri.

Indikator                   :   1.    Menjelaskan arti barisan dan deret

 2.     Menemukan rumus barisan dan deret aritmetika.

                                     3.     Menemukan rumus barisan dan deret geometri.

                                     4.     Menghitung suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri.

Materi                       :  BARISAN DAN DERET

1.   Pengertian Barisan.

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu.Bentuk umum barisan bilangan a₁, a₂, a₃, ...,a_n.

Setiap unsur pada barisan bilanan disebut suku. Suku ke-n dari suatu barisan ditulis dengan simbol U_n ( n merupakan bilangan asli ). Untuk suku pertama dinyatakan dengan simbol a atau U₁.

Berdasarkan banyaknya suku, barisan dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu :

1.  Barisan berhingga, jika banyaknya suku-suku tertentu jumlahnya.

2.  Barisan tak berhingga, jika banyaknya suku-suku tak berhinga jumlahnya.

2.   Barisan Aritmetka.

Barisan atitmetika adalah suatu barisan bilangan dimana setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang tetap yang disebut beda ( b ). Secara umum jika suku ke-n suatu barisan arimetika adalah U_n, maka berlaku :

b = U_n – U_{n – 1}         

Jika suku pertama dari barisan aritmetika ( U1 ) dinotasikan dengan a dan beda dinotasikan dengan b, maka suku-suku pada barisan aritmetika tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

U₁ = a

U₂ = a + b

U₃ = ( a + b ) + b = a + 2b

U₄ = ( a + 2b ) + b = a + 3b

....

U_n = a + ( n – 1 ) b             Merupakan rumus suku ke-n barisan aritmetika

Keterangan : U_n = Suku ke-n, a = Suku pertama, b = Beda

3.   Deret Aritmetika.

Deret aritmetika adalah suatu deret yang diperoleh dengan cara menjumlahkan suku-suku dari barisan aritmetika. Jika a + ( a + b ) + ( a + 2b) + ... + ( a + ( n – 1 ) b merupakan deret aritmetika baku. Jumlah n suku deret aritmetika dinotasikan dengan S_n, Sehingga :

S_n = a + ( a + b ) + ( a + 2b) + ... + ( a + ( n – 1 ) b

     =

Rumus jumlah suku ke-n pada deret aritmetika dapat dicari dengan cara sebagai berikur :

S_n    = a + ( a + b ) + ( a + 2b) + ... + ( a + ( n – 1 ) b

S_n    = ( a + ( n – 1 ) b + ( a + ( n – 2 ) b + ... + a

2 S_n = ( 2a + ( n – 1 ) b + ................. + ( 2a + ( n – 1 ) b             Sebanyak n suku Sehingga  :

2 S_n = n ( 2a + ( n – 1 ) b

   S_n = ½ n ( 2a + ( n – 1 ) b            Merupakan rumus deret aritmetika

Keterangan : S_n = Jumlah suku ke-n , n = banyak suku

4.   Barisan Geometri

Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku didepannya dengan bilangan tetap yang disebut rasio yang dinotasikan dengan r. Jika suatu barisan geometri U₁, U₂, U₃, ..., Un maka rasio dapat dituliskan :

r =  

Apabila suku pertama barisan geometri dinyatakan dengan notasi a, dan rasio dinyatakan dengan notasi r, maka :

U₁ = a

U₂ = ar

U₃ = arr  = ( ar² )

U₄ = a ( r² ) r = ar³

...

U_n = ar^n-1                 Merupakan rumus suku ke-n barisan geometri

Keterangan : U_n = Suku ke-n, a = Suku pertama, r = rasio

5.   Deret Geometri

Deret geometri adalah suatu deret yang diperoleh dengan menjumlahkan suku-suku barisan geometri. Jika a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-1 merupakan deret geometri baku, maka jumlah n suku pertamanya dinotasikan S_n sehingga : 

S_n  =  a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-1

     =

Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :

S_n     =  a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-1

r S_n  = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + arⁿ

                 S_n – r S_n        =   a - arⁿ

( 1 – r ) S_n =   a - arⁿ

            S_n  =

Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dapat ditulis sebagai berikut :

S_n  =  untuk r < 1, atau S_n  =  untuk r > 1

alat peraga erastostenes

BAB I

PENDAHULUAN

a.      Latar belakang

            Sebuah bangsa yang besar bukanlah bangsa yang banyak penduduknya, tetapi bangsa yang besar adalah jika elemen masyarakatnya berpendidikan adan mampu mamjukan negaranya. Pendidikan adalah kunci semua kemajuan dan perkembangan yang berkualitas sebab dengan pendidikan manusia dapat mewujudkan semua potensi dirinya baik sebagai pribadi maupun sebagai warga masyarakat. Dalam rangka mewujudkan potensi diri menjadi kompetensi yang beragam, harus melewati proses pendidikan yang diimplementasikan dalam proses pembelajaran.[1]

            Kata matematika berasal dari kata (mathema) dalam bahasa yunani yang diartikan sebagai “ sains, ilmu pengetahuan, atau belajar, (mathematikos) yang diartikan sebagai “ suka belajar”. Ilmu matematika telah banyak dikenal orang pada masa prasejarah. Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berfikir. Oleh karena itu logika merupakan dasar untuk terbentuknya matematika. Dipandang dari segi pengetahuan dan pengalaman ada banyak pendapat tentang matematika, ada yang mengtakan matematika adalah bahasa simbol, matematika adalah bahasa numerik, matematika adalah bahasa yang dapat menghilangkan sifat kabur, majemuk dan emisional, matematika adalah metode berfikir logis, matematika adalah ilmu yang mempelajari pola  hubungan, bentuk dan struktur dan masih banyak pendapat lain lagi.

            Istilah mathematics berasal dari perkataan latin mathematica, yang mulanya diambila dari bahasa yunani, yang berarti “ relating to learning” perkataan itu mempunyai akar kata mathema yang berarti pengetahuan atau (science, knowledge),  jadi berdasarkan etimologis, perkataan matematika berarti “ ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar. Hal ini dimaksudkan bukan berarti ilmu lain diperoleh dengan proses penalaran. Akan tetapi dalam matematika  lebih menekankan aktivitas dalam dunia rasio (penalaran). Sedangkan dalam ilmu lebih menekankan hasil observasi atau hubungan dengan ide, proses dan penalaran, pada tahap awal matematika terbentuk dari pengalaman manusia dan dunianya secara empiris, karena matematika sebagai aktivitas manusia kemudian pengalaman itu diproses dalam dunia rasio, diolah secara analisis dan sintesis dengan penalaran didalam struktur kognitif sehingga sampailah pada suatu kesimpulan berupa konsep-konsep matematika. Agar konsep-konsep matematika yang telah terbentuk itu dapat difahami orang lain dan dapat dengan mudah dimanipulasi secara tepat, maka digunakan notasi dan istilah yang cermat yang disepakati bersama secara global (universal) yang dikenal dengan bahasa matematika.

Berangkat dari uraian di atas maka penulis mencoba menawarkan salah satu cara atau teknik dalam menciptakan pembelajaran yang menyenangkan untuk mata pelajaran matematika yaitu dengan mengadakan permainan di dalam proses belajar mengajar tetapi dalam hal ini penulis menawarkan permainan matematika sebagai bahan evaluasi dalam proses pembelajaran matematika berlangsung. Hal ini sangat mendukung karena sebagaimana yang kita ketahui bahwa matematika merupakan disiplin ilmu yang dianggap cukup sulit. Adapun permainan matematika yang penulis coba tawarkan yaitu permainan yang berkaitan materi Bilangan Prima yang diajarkan di tingkat Sekolah Dasar (SD) atau Madrasah Ibtidaiyah (MI) untuk kelas IV (empat) semester I (satu). Dan dalam hal ini juga penulis menawargan sebuah alat peraga yang bernama Saringan Erastostenes sebagai alat pembantu pemahaman untuk materi Bilangan Prima.

b.      Tujuan SK (standar kompetensi) & (kompetensi dasar)

·         Tujuan Standar Kompetensi

2. menggunakan dan menggunakan faktor dan kelipatan dalam pemecahan masalah

·         Tujuan Kompetensi dasar

2.2 Menentukan kelipatan dan faktor bilangan

·         Indikator

ü  Menetukan kelipatan suatu bilangan dan kelipatan persekutuan dari dua bilangan

ü  Mengenal ciri-ciri bilangan yang habis dibagi 1 dan dirinya sendiri atau bilangan prima seperti (2,3,5,7,11,13)

BAB II

LANDASAN TEORI

a.      Teori belajar yang melandasi permainan MTK

Salah tu pendapat yang menyatakan bahwa siswa belajar menyenangkan mengarahkan kepada laboratorium Matematika, permainan Matematika dari hal ini yang memicu munculnya teori Zoltan P.Dienes.

Zoltan P.Dienes adalah seorang matematikawan yang memusatkan perhatiannya pada cara-cara pengajran terhadap anak-anak. Dasar teorinya bertumpu pada teori piaget, dan pengmbangannya diorientasikan pada anak-anak sedemikian rupa sehingga sistem yang dikembangkan  itu menarik bagi anak-anak yang mempelajari matematika.

Dienes berpendapat bahwa pada dasarnya matematika dapat dianggpa sebagai study tentang struktur-struktur. Dienes mengemukakan bahwa tiap-tiap konsep atau prinsip dalam matematika yang disajikan dalam bentuk yang kongkrit akan dapat difahami dengan baik. Inni mengandung arti bahwa benda-benda atau objek-objek dalam bentuk permainan akan sangat berperan bila dimanipulasi dengan baik dalam pengajaran matematika. Permainan bebas merupakan tahap belajar konsep yang aktivitasnya tidak berstruktur dan tidak diarahkan. Aktivitas ini memungkinkan anak mengadakanpercobaan dan mengotak-atik (memanipulasi) benda-benda konkret dari unsur-unsur yang sedang dipelajarinya itu.

Dalam permainan yang disertai aturan anak-anak sudah mulai meneliti pola-pola dan keteraturann yang terdapat dalam konsep tertentu. Keteraturan ini mungkin terdapat dalam konsep tertentu tapi tidak terdapat dalam konsep yang lainnya. Anak yang telah memahami aturan-aturan yang terdapat dalam konsep akan dapat mulai melakukan permaianan, dengan melaui permainan anak-anak diajak untuk mulai mengenal dan memikirkan bagaimana struktur matematika itu. Makin banyak bentuk-bentuk yang berlainan yang diberikan dalam konsep-konsep tertentu, akan semakin jelas konsep yang difahami anak, karena anak-anak akan memperoleh hal-hal yang bersifat logis dan matematis dalam konsep yang dipelajarinya itu.

    Dalam mencari kesamaan sifat anak-anak mulai diarahkan dalam kegiatan meneukan sifat-sifat kesamaan dalam permainan yang sedang diiukti. Untuk melatih anak-anak dalam mencari kesamaan sifat-sifat ini, guru perlu mengarahkan mereka dengan mentranslasikan kesamaan struktur dari bentuk permainan yang satu ke bentuk permainan lainnya. Translasi ini tentu tudak boleh mengubah sifat-sifat abstrak yang ada dalam permainan semula.[2]

Dari pendapat dienes diatas dalam proses pembelajaran mencoba menyusun suatu permainan yang kami anggap bisa memberikan ingatan yang melekat kepada siswa dan mengambil permainan metematika BOOM...!. Permainan ini diterapkan pada siswa kelas IV (empat) Sekolah Dasar (SD) maupun Madrasah Ibtidaiyah (MI) dengan materi Bilangan Prima pada semester I (satu).

b.      Materi pembelajaran

Mendengar kata bilangan prima, hampir semua orang tahu. Soalnya ini termasuk teori dalam matematika yang diberikan pada saat kita menginjak bangku sekolah dasar. Bilangan prima termasuk dalam beberapa teori dalam matematika diskrit. Siapa yang tidak tahu bilangan prima itu apa???. Bilangan bulat positif yang mempunya aplikasi penting dalam ilmu komputer dan matematika diskrit adalah bilangan prima. Perlu di ingat pengertian bilangan prima di bawah ini:

Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 yang hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.

Secara formal definisi dari bilangan prima adalah sebagai berikut.

Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika bilangan yang habis membaginya hanya 1 dan p.

Sebagai contoh adalah bilangan 2. Bilangan 2 hanya habis dibagi 1 dan 2. Maka 2 adalah bilangan prima. Bilangan selain prima adalah bilangan komposit. Misalnya 12 adalah bilangan yang dapat habis dibagi 1,2,4,6,12. Teorema penting menyangkut bilangan prima dinyatakan oleh teorema yang terkenal dalam teori bilangan yaitu teorema fundamental aritmatik, yang berisi sebagai berikut Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih, baik bilangan prima maupun bilangan komposit, keduanya dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih faktor prima.

Misalnya, 9 = 3 × 3 (2 buah faktor prima) 100= 2×2×5×5 (4 buah faktor prima) 13 = 13 (1 buah faktor prima) 12 = 2×2×3 (3 buah faktor prima).

c.       Alat dan bahan

1.      ALAT

v  Pisau

v  Penggaris

v  Silet

v  Gunting

v  Palu

v  Spidol

2.      BAHAN

v  Papan ukurun persegi panjang

v  Kertas manila

v  Styropum

v  Plastik mika

v  Lem alteko

v  Lem dlukol

v  Kertas kado

v  Kertas kado polos

d.      Prosedur atau cara pembuatan alat peraga pembantu papan saringan Erastostenes

1.      Siapkan alat dan bahan

2.      Disini saya memakai papan yang masih dalam potongan-potongan, kemudian saya sambung biar menjadi sebuah persegi panjang berukuran 82x51 cm.

3.      Papan disambung dengan menggunakan paku payung.

4.      Kemudian dilapisi dengan menggunakan kertas manila biar kelihatannya cantik dan rapi

5.      Selanjutnya potong tyiropum ukuran kecil bentuk persegi sebanyak 20 buah

6.      Kemudian tulis angkat dari 1-20 di potongan persegi tersebut

7.      Setelah itu tempel potongan persegi kecil yang sudah di tuliskan angka pada papan yang sudah di lapisi kertas manila

e.       Cara penggunan atau aplikasi penggunaan alat peraga erastostenes sebagai alat pembantu

·         Menyusun bilangan, misal untuk alat peraga ini dibatasi dari 1 – 20.

·         Menyiapkan bangun datar dari kertas kado polos yang akan digunakan sebagai penutup bilangan yang diminta.

·         Menutup semua bilangan dari 1 – 20 yang merupakan kelipatan 2 dengan bidang datar lingkaran.

·         Menutup semua bilangan dari 1 – 20 yang merupakan kelipatan 3 dengan bidang datar persegi.

·         menutup semua bilangan dari 1-20yang merupakan berkelipatan 5 dengan menggunakan bidang datar persegi panjang.

·         menutup semua bilangan dari 1-20 yang merupakan berkelipatan 7 dengan menggunakan bidang datar persegi jajar genjang.

·         Menghitung jumlah penutup yang berada pada masing-masing bilangan. Diperoleh satu penutup pada bilangan-bilangan 2, 3, 5, 7, dst, yang berarti bilangan tersebut hanya memiliki dua pembagi, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

·         Dengan demikian, bilangan prima itu adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri. (2, 3, 5, 7, dst) adalah bilangan prima.

Catatan:

Dalam hal ini tidak bermasalah menggunakan penutup bilangan dalam bentuk lain tidak harus menggunakan penutup dalam bentuk bangun datar,  asalakan penutu yang satu tidak sama dengan penutup  yang lain

f.       Langkah-langkah permainan

permainan matematika BOOM! dimulai, minta anak-anak untuk duduk atau berdiri melingkar. Pastikan konsep bilangan prima sudah terlebih dahulu dijelaskan kepada para siswa. Setelah semua siap, jelaskan peraturan dan cara main permainan matematika BOOM! ini kepada para siswa.
Berikut ini cara bermain dan aturan main permainan matematika BOOM!.

1. Tentukan  batas bilangan prima yang akan dijadikan bom. (misalkan bilangan prima antara 1 sampai 20)
2. Tiap peserta permainan secara bergiliran menyebutkan bilangan prima dari 1 sampai 20.
3. Setiap peserta yang mendapat bagian menyebutkan bilangna prima, harus mengganti dengan meneriakkan BOOM!
4. Peserta yang membuat kesalahan otomatis keluar dari permainan.
5. Lakukukan terus seperti itu sampai peserta permainan tersisa 3 (tiga) orang yang bisa dijadikan pemenang.
6. Untuk membuat permainan ini lebih menantang, buat dua  jenis angka misalnya bilangan prima dan kelipatan angka 3. Jadi, setiap peserta permainan yang mendapat bagian menyebutkan bilangan prima dan kelipatan angka 3, harus menggantinya dengan meneriakkan BOOM!
7. Seorang guru juga bias menyediakan hadiah buat pemenang lomba sebagai penambah semangat peserta untuk bermain sambil belajar matematika.

BAB III

PEMBAHASAN

Permainan dalam pembelajaran  merupakan proses pembelajran yang mengutamakan proses “enjoyful learning”, dimana siswa tidak merasa canggung untuk mengembangkan potensi yang dimilki ileh dirinya sendiri. Guru yang profesional tentu dalam membuat suatu permaianan dalam proses pembelajaran tentunya sudah mempertimbangkan segala sesuatunya. Dan dalam membuat permainan-permainan pada proses belajar mengajar, sudah tentunya seorang guru juga harus memperhatikan tujuan yang ingin dicapai dari pembelajaran yang semestinya, sehingga dalam mengadakan permainan guru hendaknya mempertimbangkan atau menyesuaikan permainan tersebut dengan materi yang diajarkan pada saat itu.

Dalam hal ini permainan BOOM yang penulis miliki mencoba menerapkannya pada materi mengenal bilangan prima materi kelas IV untuk siswa semester 1, sesuai dengan indikator yang kedua, dalam menerapakan permainan ini sebelumnya kita menjelaskan terlebih dahulu materi tentang bilangang prima ini, dalam hal menyampaikan materi ini penulis menawarkan alat peraga saringan Erastostenes  sebagai alat pembantu menjelaskan bilangan prima itu sendiri.

Permainan BOOM ini melibatkan siswa seluruh siswa didalam kelas untuk bermain, sebelumnya itu guru menjelaskan anggota-anggota bilangan prima sampai siswa benar-benar mengetahui apa itu bilangan priam sebenarnya dan anggota-anggota bilangan prima. Permainan BOOM ini sebagai alat evaluasi dalam pembelajaran dilaksanakan saat-sat pembelajaran akan berakhir. Dalam hal ini siswa menyebutkan angka-angka 1-10 yang mana saja yang menjadi anggota bilangan prima itu sendiri. Siswa yang mengetahui bahwa antara angka 1-10 merupakan anggota bilangan prima mengatakan BOOM, dan siswa menyebut anggota bilangan prima tidak mengatakan BOOM maka siswa dikeluarkan dari medan permainan, hal ini terus berlanjut sampai kita menemukan seorang pemenang, dalam hal ini agar siswa yang kalah tidak merasa kecewa, guru menyiapkan sutu hadiah akan tetapi hadiahnya dibedakan antara siswa yang kalah dengan siswa yang menang agar tidak terjadi sesuatu yang tidak diinginkan seperti kecemburuan sosial antara siswa yang satu dengan siswa yang lainnya.

Permainan BOOM ini memilki kekurangan sendiri seperti :

a.       membutuhkan waktu yang cukup dalam proses permainan , sehingga guru harus menggunakan waktu seefektif mungkin dalam melaksanakan permainan atau menyingkat permainan.

b.      ada juga kekurangan lain dalam proses permaianan yaitu memungkinkan kelas menjadi ribut dan menggangu kelas  yang lain sehingga guru harus berusaha untuk menenangkan siswanya, dalam proses permainan usahakan seorang guru mengarahkan siswa untuk berdiri disamping supaya siswa tidak bermain-main setelah dikeluarkan dari permainan dan usahakan untuk menutup pintu dalam proses permianan supaya tidak menggangu kelas lain dalam proses permainan ini.

Selain memiliki kekurangan permainan ini juga memilki kelebihan tersendiri diantaranya :

a.    Proses belajar mengajar menjadi menyenangkan

Permaianan merupakan suatu hal yang menyenangkan, apalagi untuk anakanak tingkat SD dan MI, masa-masa mereka merupakan masa-masa saat permainan itu begitu menyenangkan, tetapi disini kita selingi permainan itu dengan aroma kependidikan apalagi untuk mata pelajaran matematika, matematika merupakan mata peljaran yang dianggap sulit, untuk mengurangi anggapan itu disinilah tujuan seorang guru, menggambarkan bahwa matematika merupakan pembelajaran yang tidak sulit dan menyeramkan.

b.    Memudahkan siswa lebih mengingat bilangan-bilangan prima

Permainan ini bertujuan untuk membantu siswa untuk tetap mengingat apa itu bilangan prima, dan apa saja yang menjadi anggota bilangan prima itu sendiri. Berdasarkan teori Dienes kita bisa menerapkan tujuan ini, karena permainan bertujuan untuk lebih mengingat konsep dan materi dari suatu mata pelajaran.

BAB IV

PENUTUP

a.      Kesimpulan

·         Dalam mengadakan permainan didalam proses belajar mengajar, guru hendaknya memperhatikan, tujuan serta keefektifitasan dari permainan tersebut.

·         Permainan ini bertujuan untuk lebih mengingat dan melatih keterampilan siswa dalam mengenal bilangan prima dan mencari bilangan prima itu sendiri.

·         Permainan ini diterapkan setelah guru menyampaikan materi tentang Bilangan Prima untuk tingkat  Sekolah Dasar (SD) atau Madrasah Ibtida’iyah (MI) kelas IV semester I (satu).

b.      Saran

            Untuk para calon guru seandainya ingin menerapan permainan ini hendaknya memperhatikan kekuranga-kekrangan yang dimilki permainan ini, dan menggunkan waktu pembelajaran seefektif mungkin agar permainan ini bisa terselesaikan sampai akhir permainan, dan mendapatkan pemenang tunggal. Dan juga calon guru maksimalkan penggunaan otak kita agar mampu memunculkan kreatifitas-kreatifitas yang dapat membangun dan meningkatkan pendidikan di negara kita Indonesia yang tercinta ini.

DAFTAR PUSTAKA

Sofan, Amri, Proses Pembelajaran Kreatif Dan Inofatif Dalam Kelas. 2010. Pt.Prestasi Pustaka Rakyat. Jakarta

Suherman, Erman. DKK. 2001. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung:  JICA- universitas Pe

---

[1] Sofan amri, Proses Pemebelajaran Kreatif Dan Inofatif Dalam Kelas. 2010. hal: 13

[2] [2] Suherman, Erman. DKK. 2001. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. hal: 71-74